La integral definida

Algunos materiales que os pueden ser útiles:

• Presentación: El problema del área
• Aplicaciones de la integral (Proyecto Matex)
• Ideas claras: Aplicaciones de la integral (Oxford)

En éste último documento tenéis resumidas las propiedades de la integral definida. No obstante, conviene que tengáis claro este concepto básico:

El signo de la integral definida y el área

Como puedes ver, para determinar el área del recinto limitado por la gráfica de una función, el eje OX y las rectas x=a y x=b, calculamos la integral definida de la función en el intervalo [a,b].

Pero claro, si la función es negativa, es decir, está por debajo del eje de abscisa y hacemos la integral definida, el resultado que nos da es negativo. Y un área negativa, no tiene mucho sentido, ¿verdad?

¿Cómo lo arreglamos? Pues fácil, poniéndole un signo menos delante a la integral:

Claro que esto tiene un problema, si no tenemos la gráfica dibujada, no sabemos previamente el signo de la integral. Pues bien, para evitar esto, y generalizar el resultado, podemos meter la integral entre valor absoluto y así nos dará positivo. Por tanto,

Otro problema es que la función corte a eje OX en en un punto del interior del intervalo, o sea, que se distingan dos o más trozos. Pues bien, en este caso, lo que hemos de hacer es partir también la integral y hacerla de cada uno de los trozos, como por ejemplo, en la imagen inferior:

Y para curarnos en salud, haremos como antes